понеділок, 8 квітня 2013 р.

Важливі формули у тригогнометрії

Із основного співвідношення
\sin {\left ( \alpha + \beta \right ) }= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
отримуємо
\sin {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,
\cos {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta,
\operatorname{tg} {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = { {\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta} \over {1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} },~~~ \operatorname{ctg} {\left ( \alpha \pm \beta \right ) } = { {\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1} \over {\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg} \alpha} }

[ред.
] Формули для функцій подвійних кутів

\sin {\left ( 2 \alpha \right )} = 2 \sin \alpha \cos \alpha
\cos {\left ( 2 \alpha \right )} = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha
\operatorname{tg} {2 \alpha} = {{2 \operatorname{tg} \alpha} \over {1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} }~,~~~\operatorname{ctg} {2 \alpha} = {{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1} \over {2 \operatorname{ctg} \alpha} } = { 1 \over 2 } { \left ( \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha \right ) }

[ред.
] Формули для функцій потрійних кутів

\sin {\left ( 3 \alpha \right )} = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha~,~~~\cos {\left ( 3 \alpha \right )} = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha

[ред.
] Формули для функцій половинних кутів

\sin {\alpha \over 2} = \sqrt { {1 - \cos \alpha} \over 2}~,~~~\cos {\alpha \over 2} = \sqrt { {1 + \cos \alpha} \over 2}
\operatorname{tg} {\alpha \over 2} = {\sin \alpha \over {1 + \cos \alpha}} = {{1 - \cos \alpha} \over \sin \alpha}~,~~~ \operatorname{ctg} {\alpha \over 2} = {\sin \alpha \over {1 - \cos \alpha}} = {{1 + \cos \alpha} \over \sin \alpha}

[ред.
] Формули для суми функцій кута

a \sin A + b \cos B = r \sin {\left( A + B \right )} = r \cos \left( {\pi \over 2} - A -B \right),~{r = \sqrt {a^2 + b^2}},~ {tg B = {b \over a} }
\sin A \pm \sin B = 2 \sin {{A \pm B} \over 2} \cos {{A \mp B} \over 2}
\cos A + \cos B = 2 \cos {{A + B} \over 2} \cos {{A - B} \over 2}
\cos A - \cos B = - 2 \sin {{A + B} \over 2} \sin {{A - B} \over 2}
\operatorname{tg} A \pm \operatorname{tg} B = {\sin {A \pm B} \over {\cos A \cos B}}~,~~ \operatorname{ctg} A \pm \operatorname{ctg} B = {\sin {B \pm A} \over {\sin A \sin B}}

[ред.
] Загальні формули для функцій кратних кутів

Якщо n є цілим додатнім числом, то
\sin {n A} = {n \choose 1} \cos^{n -1} A \sin A - {n \choose 3} \cos^{n - 3} A \sin^3 A + {n \choose 5} \cos^{n - 5} A \sin^5 A \mp \cdots
\cos {n A} = \cos^n A - {n \choose 2} \cos^{n - 2} A \sin^2 A + {n \choose 4} \cos^{n - 4} A \sin^4 A \mp \cdots


[ред.] Загальні формули для степенів функцій

Якщо n є цілим непарним числом, то
\sin^n x = { {(-1)^{{n-1} \over 2}} \over {2^{n-1}} } \left [ \sin {n x} - {n \choose 1} \sin {(n-2) x} + {n \choose 2} \sin {(n - 4) x} - {n \choose 3} \sin {(n - 6) x} + \cdots + (-1)^{{n-1} \over 2} {n \choose {{n-1} \over 2}} \sin x \right ]
\cos^n x = { \left ( { 1 \over 2 } \right ) }^{n - 1} \left [ \cos {n x} + {n \choose 1} \cos {(n-2) x} + {n \choose 2} \cos {(n - 4) x} + {n \choose 3} \cos {(n - 6) x} + \cdots + {n \choose {{n-1} \over 2}} \cos x \right ]

Якщо n є цілим парним числом, то
\sin^n x = {{{\left ( -1 \right )}^{{n \over 2}} } \over {2^{n - 1} } } \left [ \cos {n x} - {n \choose 1} \cos {(n-2) x} + {n \choose 2} \cos {(n-4) x} - {n \choose 3} \cos {(n-6) x} + \cdots + {\left ( -1 \right )}^{{n-2} \over 2} {n \choose {{n-2} \over 2}} \cos {2 x} \right ] + {n \choose {n \over 2}}^{1 \over 2^n}
\cos^n x = {\left ( {1 \over 2} \right ) }^{n - 1} \left [ \cos {n x} + {n \choose 1} \cos {(n - 2) x} + {n \choose 2} \cos {(n - 4) x} + {n \choose 3} \cos {(n - 6) x} + \cdots + {n \choose {{n-2} \over 2}} \cos {2 x} \right ] + {n \choose {n \over 2}}^{1 \over 2^n}

[ред.] Розклади в ряд Тейлора

Існують такі розклади в ряд Тейлора тригонометричних функцій:
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}
\begin{align} \tan x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\ & {} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac {\pi} {2} \end{align}
Опубліковано о

Немає коментарів:

Дописати коментар

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)